Расчёт несущей способности и прогиба деревянных конструкций

Расчёт несущей способности и прогиба деревянных конструкций
Расчёт несущей способности и прогиба деревянных конструкций

Древесина — один из старейших и наиболее широко используемых строительных материалов. Её применяют как в малоэтажном строительстве, так и в современном деревянном домостроении, включая клеёные балки, перекрытия и фермы. Несмотря на экологичность и прочность, древесина подвержена деформациям под действием нагрузок, особенно при длительном воздействии.

Рассмотрим методики расчёта несущей способности и прогиба деревянных конструкций по действующим нормам и инженерной практике.

1. Основные положения

Расчёт ведётся в соответствии с:

  • СП 64.13330.2017 (Актуализированная редакция СНиП II-25-80)

  • Еврокод 5 (EN 1995-1-1) для международной практики

  • Методическими рекомендациями НИИСК и ЦНИИСК им. Кучеренко

Основные характеристики древесины:

  • Расчётное сопротивление (мПа)

  • Модуль упругости (E), ГПа

  • Модуль ползучести (kdef)

  • Коэффициенты условий работы (γm, km, kh)

2. Несущая способность деревянного элемента

2.1. Условия прочности по нормальным напряжениям

Для элементов, работающих на изгиб:

σ = (M * y) / I ≤ R_b

где:

  • σ — напряжение в опасном сечении

  • M — изгибающий момент

  • y — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна

  • I — момент инерции сечения

  • R_b — расчётное сопротивление древесины при изгибе

Для сечения прямоугольной балки:

I = (b * h³) / 12

y = h / 2

где:

  • b — ширина балки

  • h — высота балки

2.2. Расчёт по продольному сжатию

N ≤ (R_c * A) / γ_m

где:

  • R_c — расчётное сопротивление сжатию вдоль волокон

  • A — площадь поперечного сечения

  • γ_m — коэффициент надёжности по материалу

3. Расчёт прогиба деревянных балок

Ограничение прогиба является критически важным аспектом расчёта для обеспечения эксплуатационной надёжности конструкции.

3.1. Расчёт прогиба при равномерной нагрузке

Для балки, опёртой по концам (двухопорная балка):

f = (5 * q * L⁴) / (384 * E * I)

где:

  • f — прогиб в центре пролёта

  • q — равномерная нагрузка, Н/м

  • L — пролёт балки

  • E — модуль упругости древесины

  • I — момент инерции

Для клеёных балок и при длительных нагрузках учитывается ползучесть:

f_total = f_short * (1 + k_def)

где k_def — коэффициент длительной деформации (обычно от 0.6 до 2.0 в зависимости от условий эксплуатации).

3.2. Предельные значения прогиба

По СП 64.13330.2017:

  • для перекрытий: f_max ≤ L / 300

  • для крыш без чердака: f_max ≤ L / 200

  • при чувствительной отделке (плитка, стекло): L / 400

4. Учёт условий эксплуатации

Состояние древесины может существенно варьироваться в зависимости от влажности, температуры и вида нагрузки.

4.1. Классы условий эксплуатации:

  • Класс 1: внутренняя среда с влажностью ниже 65%

  • Класс 2: умеренная влажность (чердаки, влажные помещения)

  • Класс 3: наружные конструкции

В зависимости от класса применяется понижающий коэффициент k_mod к сопротивлению материала.

4.2. Продолжительность действия нагрузки

Нагрузки делятся на:

  • Постоянные (собственный вес)

  • Длительные (мебель)

  • Кратковременные (люди, снег)

  • Особые (ураган, сейсмика)

Каждому типу присваивается коэффициент продолжительности действия (по Еврокоду или СП).

5. Пример расчёта деревянной балки

Условие: Балка сечением 50×200 мм, пролёт 4 м, нагрузка 3.5 кН/м (включая собственный вес), древесина — сосна (класс С24), условия — сухое помещение.

Расчёт прочности:

I = (0.05 * (0.2)³) / 12 = 3.33 * 10⁻⁵ м⁴ 

M_max = (q * L²) / 8 = (3.5 * 4²) / 8 = 7 кН·м

σ = (M * y) / I = (7000 * 0.1) / (3.33 * 10⁻⁵) = 21 МПа < R_b = 24 МПа

→ Прочность удовлетворяет.

Расчёт прогиба:

f = (5 * 3500 * 4⁴) / (384 * 11000 * 3.33 * 10⁻⁵) = 9.2 мм

f_max = 4000 / 300 = 13.3 мм

→ Прогиб в пределах нормы.

Точный расчёт несущей способности и прогиба деревянных конструкций является обязательным этапом при проектировании. Игнорирование влияния ползучести, условий эксплуатации и реального состояния древесины может привести к недопустимым деформациям, трещинам или даже обрушению. Для ответственных конструкций всегда рекомендуется использование специализированных программ (SCAD, LIRA, TimberTech) или консультация с инженером-конструктором.